marek sterzik

NMAI058 Lineární algebra II

Úterý, 10:40, S11
Středa, 15:40, S7

Podmínky zápočtu

Zápočet bude udělován za získání 75 bodů. Body se budou udělovat za:

• účast na cvičeních (každé cvičení za 1 bod)
• dvě písemky, celkem za 100 bodů. Písemky se budou psát 31.3. a 12.5. (resp. 1.4. a 13.5. pro druhou skupinu).
• domácí úlohy

Probraná látka

24.2.2009 (25.2.2009)

• Determinant matice, definice determinantu.
• Počítání determinantu: přímo pro matice velikosti 2x2 a 3x3, pro větší matice gaussovou eliminací.
• Rozvoj determinantu podle řádku/sloupce.
• Pravidla pro počítání s determinanty.

Domácí úkoly:

• Dokažte, že je-li π = T₁ • T₂ • … • T_n, kde T_i jsou transpozice, pak sgn(π)=(-1)ⁿ.
• Buď A čtvercová regulární celočíselná matice taková, že det(A) je buď 1 nebo -1. Potom A^-1 je celočíselná. (K důkazu věty bude zřejmě zapotřebí využít tvrzení, které jsme toto cvičení neprobírali.)

3.3.2009 (4.3.2009)

• geometrický význam determinantu
• Cramerovo pravidlo
• Adjungované matice

10.3.2009 (11.3.2009)

• Vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení (matice)
• Charakteristický polynom
• Podobnost matic
• Věta: Vlastní čísla se zachovávají podobností
• Hledání podobných "jednoduchých" (tj. nejlépe diagonálních) matic - příště v tom budeme pokračovat

17.3.2009 (18.3.2009)

• Tvrzení: Podobné matice mají stejný charakteristický polynom.
• Tvrzení: Determinant matice je součin všech jejích vlastních čísel (včetně násobností, platí v komplexních číslech)
• Souvislosti parametrů d-regulárního grafu a vlastních čísel jeho matice sousednosti.
• Tvrzení: Symetrické reálné matice mají všechna vlastní čísla reálná.

Domácí úkoly:

• Dokažte, že podobné matice mají stejnou stopu, tj. součet prvků na diagonále.
• Následující úkoly se týkají d-regulárních grafů. G vždy označuje příslušný d-regulární graf a A označuje jeho matici sousednosti, a λ₁ ≥ λ₂ ≥ … ≥ λ_n označuje vlastní čísla matice A setříděná podle velikosti (již víme, že jsou všechna vlastní čísla reálná, neboť A je symetrická).
  • Dokažte, že λ₁=d (dokazovali jsme, že d je vlastním číslem A)
  • Dokažte, že λ_n ≥ -d.
  • Dokažte, že je-li G bipartitní, je λ_n=-d.
  • Dokažte, že je-li λ_n=-d, pak je G bipartitní.
  • Dokažte, že je-li G nesouvislý, je λ₂ = λ₁.
  • Dokažte, že je-li λ₂ = λ₁, je graf G nesouvislý.
  K některým z těchto tvrzení se budou hodit některá tvrzení o symetrických maticích, která budeme dělat až další hodinu.

24.3.2009 (25.3.2009)

• Tvrzení: Vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům symetrické matice jsou na sebe kolmé.
• Věta (bez důkazu): Dimenze podprostoru vlastních vektorů příslušejících vlastnímu číslu λ je rovna násobnosti vlastního čísla λ.
• Důsledek: Je-li A symetrická matice typu n × n, existuje báze prostoru Rⁿ (resp. Cⁿ) složená z vlastních vektorů macie A.
• Tvrzení: Matice je diagonalizovatelná (tj. podobná diagonální matici), právě když existuje báze složená z vlastních vektorů této matice.
• Praktické ověřování diagonalizovatelnosti matic.
• Jordanova věta, Jordanův normální tvar matice.

Domácí úkoly:

• Pořádně dokázat tvrzení: Jestliže existuje báze prostoru Rⁿ složená z vlastních vektorů matice A, pak je A diagonalizovatelná.
• Rozmyslete a dokažte, zda platí nebo zda neplatí tvrzení: Buď U ₁, U₂, …, U_k systém k disjunktních podmnožin vektorového prostoru V, který má následující vlastnosti:
  1. U_i je lineárně nezávislý pro všechna i = 1, …, k
  2. Každá množina tvaru {u₁, …, u_k} taková, že u_i je prvkem U_i je lineárně nezávislá.
  Pak sjednocení všech U_i je lineárně nezávislá množina.

31.3.2009 (1.4.2009)

Psala se písemná práce.

7.4.2009 (8.4.2009)

• Jordanův normální tvar matice
• Počítání JNF ke konkrétní matici
• několik poznámek o exponenciále matice

Domácí úkoly:

• Zformulujte a dokažte pořádně tvrzení: Je-li matice A blokově diagonální matice skládající se ze čtvercových bloků, potom Aⁿ je blokově diagonální matice skládající se ze stejně velkých bloků jako matice A a každý její blok je n-tou mocninou příslušného bloku původní matice A.
• Zformulujte a dokažte pořádně tvrzení: Je-li A Jordanova buňka pro vlastní číslo 0, potom Aⁿ má diagonálu s jedničkami posunutou o (n-1) směrem vpravo nahoru.

14.4.2009 (15.4.2009)

• Poslední příklad na výpočet JNF.
• Skalární součin, jeho definice.
• Příklady skalárních součinů.

21.4.2009 (22.4.2009)

• Ortogonalita

28.4.2009 (29.4.2009)

• Grammova-Schmidtova ortogonalizace
• Pozitivně definitní matice (reálný případ)

5.5.2009 (6.5.2009)

• Pozitivně definitní matice (komplexní případ)
• Ekvivalentní podmínky pozitivní definitnosti
• Hledání "odmocniny" matice.